ガイド星のドリフト方向の反転について

一方向赤緯ガイド(uni-directional Dec guiding)では赤緯方向のガイドエラーは一方向のズレしか修正しないので、ガイドの修正方向がガイド星がドリフト方向の反対になるようにガイドモードを設定します。

しかしガイド星のドリフト方向はガイド星の天球上の位置によって反転することがあります。

極軸のズレがあれば、空の何か所かで赤緯の修正の方向が変わります(技術的には、空の 2 つの地点で方向が逆になりますが、そのうちの 1 つは通常地平線より下にあります)。逆転するポイントがどこにあるかは極軸の高度、方位が相対的にどのくらいずれているかによって決まります。もしかすると、逆転するポイントは通常の撮影では遭遇しないほど地平線に近いかもしれません。
『PHD2 v2.6.5 User Guide 日本語版』p55

一方向赤緯ガイドで撮影中に「逆転するポイント」をまたいでしまうと、設定とは逆方向にガイドが流れていってしまいます。この「逆転するポイント」は具体的にはどこにあるのでしょう？

これを知るには極軸がどの方向にどれだけズレるとガイドエラーがどの方向にどれだけ出るかという関係式を知る必要があります。『天文年鑑』の「天体望遠鏡データ」の章に「極軸の設定誤差による追尾誤差」という節があり、以下の公式が載っています。

$\mathit{H'} = \mathit{H} - \mathit{H_P}$
$\mathit{\Delta}\mathit{H} = \varepsilon_P \tan \delta \: [ \sin (\mathit{H'} + t) - \sin (\mathit{H'}) ]$
$\mathit{\Delta}\delta = \varepsilon_P \: [ \cos (\mathit{H'} +t) - \cos (\mathit{H'}) ]$
『天文年鑑2018』p328

$\mathit{H_P}$ は極軸の指す方向の時角*1、 $\varepsilon_P$ は極軸の指す方向の天の極からの角距離を表します。図にするとこうなります。

https://rna.sakura.ne.jp/share/uni-dir-guide/PA-errors.png

このとき時角 $\mathit{H}$ にあるガイド星を $t$ 時間追尾した際の赤経方向のズレが $\mathit{\Delta}\mathit{H}$ 、赤緯方向のズレが $\mathit{\Delta}\delta$ です。ここでは赤緯方向のドリフトが問題なので $\mathit{\Delta}\delta$ だけ考えます。

ガイド星のドリフト量と方向はガイド星の時角で決まります。ガイド星の赤緯のドリフト方向が逆転するポイントは、 $t$ がごく小さい正の値の時に $\mathit{\Delta}\delta$ の符号が入れ替わる場所です。つまり、 $\cos (\mathit{H'}) = \cos (\mathit{H} - \mathit{H_p})$ ) のグラフの傾きが 0 になる点、すなわち極値になる場所です。

以下、これが極軸のズレ方によってどこに来るかを見ていきます。

まず、極軸の方位の調整が完璧で、高度が少し高い方にズレている場合を考えます。先の図上に示しましたが、この時の極軸の指す方向の時角 $\mathit{H_P}$ は 0 です。 $\cos (\mathit{H'})$ のグラフはこうなります(横軸は $\mathit{H}$ = ガイド星の時角です)。